Հանրահաշիվ

Պարապմունք 33

Թեմա՝ Իրական թվերի համեմատումը և մոտարկումը։

Եթե ունենք երկու իրական թիվ, ապա՝ կամ դրանք իրար հավասար են, կամ էլ՝ մեկը մյուսից մեծ է: Պարզենք, թե գործնականում ինչպե՞ս համեմատել իրական թվերը:

Երկու անվերջ տասնորդական կոտորակներ (այսինքն իրական թվեր) իրար հավասար են, եթե նրանք ունեն նույն նշանը և նրանց մոդուլներն ունեն նույն ամբողջ մասերը և համապատասխան կարգերում նույն թվանշանները:

Զրո թիվը փոքր է ցանկացած դրական թվից և մեծ է ցանկացած բացասական թվից:

Նկարագրենք իրարից տարբեր երկու տասնորդական կոտորակների (այսինքն իրական թվերի) համեմատման քայլերը:

Առաջին քայլ: Եթե երկու դրական տասնորդական կոտորակների ամբողջ մասերը իրարից տարբեր են, ապա մեծ է այն կոտորակը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է:

Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, կատարում ենք երկրորդ քայլը:

Երկրորդ քայլ: Դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող առաջին կարգը: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Եթե առաջին կարգում գրված թվանշաններն էլ են իրար հավասար, ապա կատարում ենք հաջորդ քայլը և դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող երկրորդ կարգը և այդպես շարունակ:

Վերջին քայլ: Քանի որ դիտարկում ենք իրարից տարբեր կոտորակներ, ապա հաջորդաբար դիտարկելով կոտորակների կարգերը, կհանդիպենք այնպիսի կարգի, որում գրված թվանշաններն իրար հավասար չեն: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Օրինակ

Համեմատենք 2.1 և 2.(1) իրական թվերը:

Կոտորակները գրենք անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով և կիրառենք համեմատման նկարագրված քայլերը՝ 2.1=2.1000…2.(1)=2.1111…

Առաջին քայլ: Նկատում ենք, որ կոտորակների ամբողջ մասերը հավասար են իրար և հավասար են 2 -ի:

Երկրորդ քայլ: Իրար հավասար են նաև ստորակետից հետո եկող առաջին կարգային թվանշանները: Դրանք հավասար են 1 -ի:

Երրորդ քայլ: Առաջին կոտորակի երկրորդ կարգային թվանշանը 0 -ն է, իսկ երկրորդ կոտորակինը՝ 1 -ը:

Այսպիսով՝ 2.1<2.(1)

Որոշ դեպքերում, մասնավորապես, գրաֆիկական եղանակով հավասարումներ լուծելու համար, մաթեմատիկոսները որոշեցին մտցնել արժեքի մոտավոր հաշվման գաղափարը:

Մոտավոր հաշվարկի համար կա ևս մեկ պատճառ՝ դա իրական թվերն են, այսինքն՝ անվերջ տասնորդական կոտորակները: Չէ՞ որ կատարել հաշվարկներ անվերջ տասնորդական կոտորակների հետ անհարմար է, այդ պատճառով, գործնականում հաշվարկները կատարում են իրական թվերի մոտավոր արժեքների հետ:  

Երկրաչափական շատ բանաձևերում հանդիպում է π իրական թիվը: Դա անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ է:

Օրինակ

Հաշվենք π=3,141592… թվի մոտավոր արժեքները:

1) Եթե այս անվերջ կոտորակի գրառումն ընդհատենք, ստորակետից հետո պահելով երկու թվանշան, ապա կստանանք՝ π≈3,14:

Սա π թվի մոտարկումն է հարյուրերորդականի ճշտությամբ (մինչև 0,01 ճշտությամբ) պակասորդով (ներքևից):

2) Ստորակետից հետո կարելի է պահել երեք թվանշան: Ստանում ենք՝ π≈3,141:

Սա π թվի մոտարկումն է մինչև 0,01 ճշտությամբ պակասորդով (ներքևից):

3) Եթե պահել երեք թվանշան և երրորդը մեկով ավելացնել՝ π≈3,142, ապա կստանանք π թվի մոտարկումը մինչև 0,01 ճշտությամբ ավելուրդով (վերևից):

Պակասորդով և հավելուրդով մոտարկումները անվանում են թվի կլորացում:

Կլորացման ճշտությունը որոշվում է թվի x ճշգրիտ արժեքի և նրա a մոտավոր արժեքի տարբերության մոդուլով՝ |x−a|

Կլորացման կանոնը:

Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

Ուշադրություն

Պետք է հիշել, որ պակասորդով կլորացնելիս միշտ ստանում ենք ճշգրիտից փոքր թիվ, իսկ հավելուրդով` մեծ:

Վերադարնանք π=3,141592… թվին: Կլորացնելով 0,001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,142: Այստեղ առաջին դեն նետվող թիվը հավասար է 5 -ի (ստորակերից հետո չորրորդ թիվը), ուստի կլորացրեցինք հավելուրդով: 

Օրինակ

Կլորացնելով 0,0001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,1416: Առաջին դեն նետվող թիվը (հինգերորդը ստորակետից հետո) հավասար է 9 -ի:

Արդեն տեսանք, որ 0,01 ճշտությամբ պետք է կլորացնել պակասորդով՝ π≈3,14:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս է կատարվում իրական թվերի համեմատումը։
Գնահատում ենք թվերը՝ ձախից աջ համապատասխան կարգերում թվանշանները համեմատելով։ Առաջին հանդիպած անհավասարության դեպքում՝ ավելի մեծ թվանշանը դրական թվեր համեմատելիս նշանակում է մեծ թիվը, իսկ բացասական թվերը համեմատելիս՝ փոքր թիվը։

2․ Ինչպե՞ս են կլորացնում իրական թվերը։
Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

3․ Համեմատել թվերը.

ա) 2,42424242… > -2,42424242…
բ) 0 > -10,(4)
գ) 5,444444… < 5,544444…
դ) 0,1(1) < 0,(2)
ե) 0,333333 < 1/3
զ) 1/9 = 0,(1)

4.Թվերը դասավորել աճման կարգով․

ա) -2,(7), -0,142536, 0,125, 0,1(25)
բ) -2,(778), 0,(12), 1,(5)

5․Թվերը դասավորել նվազման կարգով․

1/8, 0,124, 0,1115, 1/9, -4,(5), -4,7556

6․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը պակասորդով՝ ստորակետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավորի ճշգրտությամբ, եթե․

ա) a=0,76543 ≈ 0,76
բ) a=-0,34354 ≈ 0,34

7․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը հավելուրդով՝ ստորկետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավոր ճշգրտությամբ, եթե
ա) a=3,56789 ≈ 3,57
բ) a=2,555․.. ≈ 2,56

8․ a թիվը կլորացրեք 0,001 ճշգրտությամբ, եթե․
ա) a=8,91011… ≈ 8,910
բ) a=-8,910111… ≈ -8,910
գ) a=0,2626 ≈ 0,263
դ) a=0,6265 ≈ 0,627

9․ 1995,1996 թիվը կլորացրեք մինչև նշված ճգրտությամբ․
ա) տասնորդական` 199
բ) մեկ հարյորերորդական
գ) մեկ միավոր
դ) մեկ հարյուրյակ